Mathematicaの基礎

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by H.Yanase

　メニュー
１．Mathematicaの基礎
　　・1.1　基礎計算
　　・1.2　NoteBookの利用
　　・1.3　基礎的なコマンドを覚えよう。
　　・1.4　グラフの基礎
　　・1.5　３次元表示の基礎
　　　1.6　３次元表示の応用
２．数式エディタとしてのMathematica

　1.1　基礎計算

１．数値計算
    ＊入力は半角英数で、改行は「Ｅｎｔｅｒ」
    ＊答を出す時は「Ｓｉｆｔ」＋「Ｅｎｔｅｒ」入力後は必ずこうしよう。　（これをコマンドの入力という）
    ＊掛け算は空白、割り算は/べき乗は^　組み込み定数、関数の始めは大文字
    　　例　２の３乗は2^3、３分の２は2/3で表わす。

例１）２×３  以下全て太字のように打って(空白はｽﾍﾟｰｽｷｰ)必ず最後に「Ｓｉｆｔ」+｢Ｅｎｔｅｒ｣

2 3

     6

Ｉｎ［　］：＝が入力、Ｏｕｔ［　］＝が出力（答）である。ここでは太字が入力を、その下の数字や式はMathematicaの出力した答である。

例２）２＾３×（４＋３）÷（−０．２）

2^3 3(4+3)/(-0.2)

     -840.

　1.2　NoteBookの利用

　　Mathematica　のファイルはNoteBookと呼ばれる。いろいろ便利な機能があるので一部紹介する。
＊パレットの利用
　Mathemaricaの３．０以上はコマンドや文字の入力にパレットを使うことができる標準でも右側に基本計算のパレット
　が出ているがメニューバーにある「ファイル」・「パレット」からさらに細かなパレットを出すことができるし、自分で専用
　のパレットを作ることができる。

＊補完機能の利用
　Mathemaricaの4.0以上はコマンドを途中まで入力し「Ctrl]＋[k]でコマンドの候補が選べる。矢印キーで選択すれ
　ばよい。

＊タグ、テンプレートの利用（修正や削除）
　Mathemaricaのノートブックは右端に　]　がある。これを選択し、右クリックするとこの部分の書式やスタイルが
　変更できる。この右端の]　を選択して、削除やコピーができるのでいろいろ自分でどんどん試行錯誤していこう

　さらに複数のタグを選択してダブルクリックすると縮約、伸展ができる。（いらない部分は隠しておける）
　また論文作成などの時は[書式][スタイルシート]から適当なテンプレートを選択して利用する。数式の番号
　の自動生成などができるようになるし、細かな設定ができる。

＊もしも動かなくなったら
　Mathematicaにしらないうちに膨大な計算をさせてしまったりして実行中のままうごかなくなったら
　（実行中の時は　]　が強調されて他のコマンドの入力を受け付けない）
　そんな時は上のメニューバーの「カーネル」「評価を放棄」または「評価を中止」を選択して強制的に止めることが
　できる。おそれずにいろいろためしてみよう。

＊わからない時は「ヘルプ」
　　わからない時は「ヘルプ」を活用しよう。わからないコマンドドラッグで反転して「ｆ１」キーを押してもよい。
　　Mathematicaのヘルプは情報や例がいっぱいあるので探検するとおもしろい、またWebにも訪れると
　　新しい情報がいっぱいだよ。インターネットが使えるなら次にアクセスしてみよう。
　　http://www.wolfram.com/

＊ファイルの保存
　まずこのファイルを自分だけのファイルにしよう。メニューバーの「ファイル」「別名で保存」を選んで適当な名前
　をつけて保存しよう。これで元のファイルはそのままでこのファイルは自分のファイルになったから好きなように変えられる。　いざという時は再び元のファイルを使えばいいのだ。

　1.3　基礎的なコマンドを覚えよう。

１．数値aをｎ桁まで求める
    N[a,n]

N[Pi,50]

     3.14159265358979323846264338327950288419716939937511

Piはπを表す。数値aは関数でもよい Pi/3 は６０°だから　次のように打って｢Ｅｎｔｅｒ｣で
改行して、最後に｢Ｓｉｆｔ｣+｢Ｅｎｔｅｒ｣で計算させる。

N[Sin[Pi/3],10]
N[Cos[Pi/3],10]
N[(Sin[Pi/3])^2+(Cos[Pi/3])^2,10]
N[Sqrt[10]]
N[E,10]
N[360 Degree]
N[Log[2,3]]

     0.8660254038

     0.5

     1.

     3.16228

     2.718281828

     6.28319

     1.58496

Sqrt[　]はルートを取ることを表す。最後から２番めの360　Degreeは360度のことである
Mathematicaはこれ以外にも非常にたくさんの関数が用意されている

＊代数計算時の注意
    少数として扱う時には小数点をつける

２．展開する。
    Expand[式]　式を展開する

Expand[(x-y)^3]
Expand[(x-y)(x+y)]
Expand[(x+y)^2] /. {x->2,y->3}

      3      2          2    3
     x  - 3 x  y + 3 x y  - y

      2    2
     x  - y

     25

＊最後の　/. {x->2,y->3}　はｘに２、ｙに３を代入するためのオプションである。
　はじめにｘ＝２；としても代入できるがこの場合以後ｘは２となる　/. をつかうとｘは変数のまま扱うことができる。

＊Clear[..]は変数を初期化するコマンドである。ｘに２が代入されてしまった後もう一度代入されていないｘに戻す。
＊文末に　；　をつけるとそのコマンドは結果表示されない。
　ま分を(*　....　*)　で囲むと入力文であっても無視される。

３．因数分解する。
    Factor[式]　式を因数分解する。

Factor[x^3-3x^2 y + 3x y^2 - y^3]

            3
     (x - y)

４．式を簡単にする。
    Simplify[式]　    式を簡単にまとめる。
    Collect[式 ,x]    xのべきのに整理

f=3x^2 +x y^2 +3x y -4+ 6x^2+3x^3
Simplify[f]
Collect[f,x]
g=2/(a-b)+3(a^2-b^2)/(a-b)^2
Simplify[%]

             2      3              2
     -4 + 9 x  + 3 x  + 3 x y + x y

             2      3              2
     -4 + 9 x  + 3 x  + 3 x y + x y

             2      3             2
     -4 + 9 x  + 3 x  + x (3 y + y )

                 2    2
       2     3 (a  - b )
     ----- + -----------
     a - b           2
              (a - b)

     2 + 3 a + 3 b
     -------------
         a - b

ｘかけるｙはxyではなくx yと空白を入れることに注意しよう。

＊直前の結果を使う
最後の式でできる限りの通分をしてくれている！また入力の時、括弧の中に％を入れると１つ前の式を代入してくれる。もう１つ前なら%%（％２でも同じ）だ。１行目と２行目の式は同じなのは入力の段階で同じ項は整理されているからである。式を出力させたくない時はその式の最後に；をつける。

f=3x^2 +x y +3x y -4y +5+ 6x^2+x y^3;
Collect[f,y]
g=2/(a-b)+3(a^2-b^2)/(a-b)^2
Simplify[%]

            2                     3
     5 + 9 x  + (-4 + 4 x) y + x y

                 2    2
       2     3 (a  - b )
     ----- + -----------
     a - b           2
              (a - b)

     2 + 3 a + 3 b
     -------------
         a - b

５．方程式を解く
Solve[式1==式2　,a]　方程式　式１＝＝式２　をａについて解く

例えばｘ＾２＝１をｘについて解くと次のようになる。特に等号を２つ 書くことに注意しよう。

Solve[x^2==1,x]

     {{x -> -1}, {x -> 1}}

苦手人の多いな文字を含んでいる計算も解けてしまう。いろいろやってみよう。
ただし同じ変数ａ，ｂやx､yなどをもう一度使う時は過去の値が代入されているので
Clear[変数]で変数をはじめの状態に戻すことを忘れないように。

６．変数を初期化する
    Clear[変数]

Clear[a]
Clear[b]
Clear[x]
Clear[y]
Solve[a x^2+b x +c==0,x]
Solve[y==V0 t +(1/2)a t^2,a]
Solve[y==Exp[a x],x]

最後の式はｙ＝ｅ＾(ａｘ)、Exp[　]は指数関数をあらわしている。
また２つめの方程式にはwarning(警告)メッセージが出ている。Mathematicaは自信
がない答を出した時はその旨を知らせてくれるのだ。この場合は他にも解がある可能性を知らせている。
Errorメッセージが出た時は答はでないぞ。入力した式が間違っていたら修正してもう一度「Ｓｉｆｔ」＋「Ｅｎｔｅｒ」だ。
またMathematicaで使う記号は空白を含まないようにすれば自由につくれる上に示したV0以外にもHanakoとかTaro
なんかでもOKだ。ただしPiとかＩ(虚数単位)とかＥは決められてるから使えないぞ。
    

７．連立方程式方程式を解く
    Solve[{式１＝＝式２,式３＝＝式４,...},{x,y,...}]

連立方程式を解きたい時はまず複数の方程式を{　}の中に　,　で区切って書く。
次に求めたい文字を同じく{　}の中に　,　で区切ってかけばよい。もちろん２つの
{　}の中のｶﾝﾏの数は同じはずだ。；で区切ると横に並べて書くことも出来る。

Clear[a];Clear[b];Clear[c];Clear[d];
Solve[{a x+b y==1,c x- d y==2},{x,y}]
Solve[{3x+2y==1,x-y==4,y+3 z==8},{x,y,z}]

            1     b (-2 a + c)             -2 a + c
     {{x -> - + ----------------, y -> -(------------)}}
            a   a (-(b c) - a d)         -(b c) - a d

            17       9         11
     {{z -> --, x -> -, y -> -(--)}}
            5        5         5

８．微分する
D[f, x]は，偏微分係数 を与える．
D[f, {x, n]は，偏微分係数 を与える．
D[f, , , ... ]は， を与える．

微分は接線の傾きを出すことだったね。
例えば高校の物理で出てくる

という落体の式があった。このグラフは次のように簡単にかける
　初速を２、ｇを9.8としよう。

Plotというコマンドはこの後詳しく解説する。
では　この場合の３秒後の速さはどうなるだろうか。
上のグラフを使って3秒のところの接線の傾きをだせばよかったね。
傾きを出すことは微分すろことに等しいから先ほど知った微分と代入のコマンドを使って
傾きをｖとして

と簡単にやれてしまう。
さらに次のように実際に接線を引くことも可能だ。
この接線はyが３の時に

から(3, 50.1)を通るから　先の傾きｖ（３１．４)を使って次のように方程式をとけばよい,この直線のy切片をｂとして

従って直線の方程式は次のようにy1なるからグラフを描かせると

Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ　の能力が少しわかっただろうか。
さらに簡単なやり方やテクニックはこれから紹介していく。

９．微分方程式を解く
DSolve[eqn, y, x]]　独立変数を xとして，関数 yに関する微分方程式を解く。

{}の中に条件がいくつか書いてあるね。ここでも等式＝を２つつなげることに注意しよう。
高校生にはちょっと上級だがこれを覚えると物理の運動方程式は簡単にとけてしまう。
例えば次の問題をやってみよう。

【問題】
　ばね定数ｋのばねをマサツのない水平面に置き質量ｍの重りをつける。自然の長さよりａだけ縮めて放す。自然の長さを
　基準にとって時刻ｔの位置ｘはどうあらわされるか？

【例解】
　この場合運動方程式は
　m a=-k x
という単振動の式になる　a はｘをｔについて2回微分したものだったからD[x,{t,2}]で表される
として
従って先のコマンドを使うとt=0の時にx=0

さっそくいろいろ自分でためしてみよう。

10．積分する
Integrate[f, x]は， 不定積分 を与える.
Integrate[f, {x, xmin, xmax]は， を与える．
Integrate[f, {x, xmin, xmax, {y, ymin, ymax]は， 多重積分 を与える．

少々むずかしいが大学の基礎物理に出てくる次のようなガウス積分も可能である

上記の例ではａの条件範囲を示してくれている。
さらに次のようなデルタ関数も取り扱える。

11．整数の問題（最大公約数、最小公倍数など）
GCD[a,b,c,....]     a,b,c,...の最大公約数を求める。全部大文字に注意
LCM[a,bc,.....]　a,b,c...の最小公倍数を求める。全部大文字に注意
Mod[k,n]    　　　　　　    kをnで割った時の余り
Prime[k]            k番目の素数
PrimePi[k]        ｋ以下の素数の数
FactorInteger[n]    ｎの素因数とその指数部のリスト

ではいろいろ計算してみよう。

GCD[24,36]
LCM[12,8]

     12

     24

素因数分解は指数とのペアで出力されることに注意する。たとえば２４を素因数分解すると。

FactorInteger[24]

     {{2, 3}, {3, 1}}

これは２の３乗と３の１乗の組み合わせであらわされている。Prime[ ]の使い方も見てみよう

Prime[1]
Prime[2]
Prime[3]
PrimePi[5]

     2

     3

     5

     3

５までの素数が２、３、５の３つあることがわかる。同じことを少しづつ値を変えて出力するのに便利な命令も用意されている。

１２．繰り返し文
Do[繰り返したい式の集まり　,{n,ｎの始まりの値,nの終わりの値}]
    

例えば先のPrime[　]で５番目の素数まで一気に求めて見よう。

a=Do[Print[Prime[n]],{n,1,5}]

Prime[ ]をPrint[　]ではさんでいることに注意して欲しい。Do[　]を使うと括弧の中は標準では画面に出てこないのでPrint[　]を使って強制的に結果を画面に出している。
またMathematicaでは使い方のわからない関数や命令は　?　の後につけて入力するとその使い方を教えてくれる。例えばDoの場合は　

? Do

１３．リストを作る
    Table[式,{n,ｎの始まりの値,nの終わりの値}]

例えば先のPrime[　]で５番目の素数までDo[　]と同じように一気に求めて見よう。

Table[Prime[n],{n,1,5}]

     {2, 3, 5, 7, 11}

１４．整式の問題
ＰｏｌｙｎｏｍｉａｌＱｕｏｔｉｅｎｔ[式１,式２,x]
xの多項式である式１を式２で割り、余りを除いた結果を出す
ＰｏｌｙｎｏｍｉaｌＲｅｍａｉｎｄｅｒ[式１,式２,x]
ｘの多項式である式１を式２で割り、余りを出す
ＰｏｌｙｎｏｍａｉｌGCD[式１,式２]
式１と式２の最大公約数を出す
ＰｏｌｙｎｏｍａｉｌLCM[式１,式２]
式１と式２の最小公倍数を出す

さっそくy1=x^3-5x^2+6x,　y2=3x^2-5x-2として試して見よう。

y1=x^3-5x^2+6x;y2=3x^2-5x-2;
PolynomialQuotient[y1,y2,x]
PolynomialRemainder[y1,y2,x]
PolynomialGCD[y1,y2]
PolynomialLCM[y1,y2]

       10    x
     -(--) + -
       9     3

       20    10 x
     -(--) + ----
       9      9

     -2 + x

               2       3      4
     6 x + 13 x  - 14 x  + 3 x

１５．分数式の問題
Together[式]    式を共通の分母にする
Apart[式]     式の各項が最も簡単な分母をもつ分数にする
Cancel[式]    式を約分する

ではf=(-4x+x^2)/(-x+x^2)+(-4+3x+x^2)/(x^2-1)を例にやってみよう。

f=(-4x+x^2)/(-x+x^2)+(-4+3x+x^2)/(x^2-1)
Together[f]
Apart[f]
Cancel[f]
Factor[f]

             2               2
     -4 x + x    -4 + 3 x + x
     --------- + -------------
            2             2
      -x + x        -1 + x

                2
       2 (-4 + x )
     ----------------
     (-1 + x) (1 + x)

           3        3
     2 - ------ + -----
         -1 + x   1 + x

     -4 + x   4 + x
     ------ + -----
     -1 + x   1 + x

     2 (-2 + x) (2 + x)
     ------------------
      (-1 + x) (1 + x)

１６．数式の処理
係数を知る
　　Coefficient[expr, form]は，多項式 exprにおける formの係数を与える．
　　Coefficient[expr, form, n]は，多項式 exprにおける form^nの係数を与える．
簡単にする
    Simplify[expr]は，exprに対していくつかの代数的な変形を実行し，最も簡単な形式を返す．
    Simplify[expr, assum]は，仮定を使用して簡約する．
べき展開する。
    PowerExpand[expr]は，すべての積とベキを展開する．

＊Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａは次のように標準では簡単にしてもルートをはずさない。

＊％はひとつ前の結果を使う時に利用するのだった
強引にルートをはずしたい時には次のように使う

　1.4　グラフの基礎

17．２次元のグラフ
    Plot[式　,　{ｘ,　xの始めの値,　xの終わりの値}]　
    

与えられた範囲での２次元の作図が自由にできる。
では馴染みの深いグラフをどんどん描いてみよう。まずY=X^2から始めるとしよう。
なれたら自分で好きなグラフを描かせてごらん。最後に２つの式を{式１,式２}と囲むことで２つのグラフが同時にかけることを示す。

Plot[x^2,{x,-2,2}]

     -Graphics-

Plot[Log[x],{x,1,10}]

     -Graphics-

Plot[Exp[x],{x,-1,1}]

     -Graphics-

Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,-2Pi,2Pi}]

     -Graphics-

２次元のグラフを書く方法は他にもある。例えば半径１の円はどう書くか。円の方程式はx^2+y^2=r^2だからまずX^2+y^2=1をｙについて解いてそのグラフをかかせて見よう。Solve[　]を使って解をを出すとプラス、マイナスの２つの解が出てくるよね。

Solve[x^2+y^2==1,y]

                       2                    2
     {{y -> -Sqrt[1 - x ]}, {y -> Sqrt[1 - x ]}}

そこでこのうちの１つ目、つまりマイナスの方の解だけをｙに代入させるには

１8. 集合リスト({　},{　}で区切られた集合)の中からi番めを抽出する。
        Part[集合リスト,　i]
    

をつかうとできる。　ｙに代入させる時は　y/.　式　だから一気にグラフを作成するプログラムを書くと次のようになる。

f= y /. Part[Solve[x^2+y^2==1,y],1]
g1=Plot[f,{x,-1,1}]

                2
     -Sqrt[1 - x ]

     -Graphics-

これで下半分ができたわけだ。上半分も同じように作ってグラフをあわせれば完了だね
そこでグラフをあわせたりするにはShow[　]を使うとできる。

１9. グラフをあわせたり表現方法を変えたりする。
Show[グラフ１,　グラフ２,　...,ｵﾌﾟｼｮﾝｰ>値]　グラフ１とグラフ２、...    
を重ねて表示さらにいろいろなｵﾌﾟｼｮﾝを変更する。
    

では今度は２番めの解を使ってグラフを描かせ、先のグラフとあわせてみよう。ついでにAspectRatio->Automaticというｵﾌﾟｼｮﾝをつけてｘ座標とｙ座標の長さを等しくする。

f=y /. Part[Solve[x^2+y^2==1,y],2]
g2=Plot[f,{x,-1,1}]
Show[g1,g2,AspectRatio->Automatic]

               2
     Sqrt[1 - x ]

     -Graphics-

     -Graphics-

やっと円ができた！ｵﾌﾟｼｮﾝは他にもいっぱいあるが、それを知るには
次の命令を使ってPlotのオプションを見る。

20. ｵﾌﾟｼｮﾝを知る
    Options[命令]　命令のオプションを表示する（英語）

Options[Plot]

さて、次に同じ円を別な方法、三角関数とﾊﾟﾗﾒｰﾀｰで表してみる
先の円の絵をみて点[1,0]から君が円上を歩くとしよう。するとｘ座標の値はだんだん減って、ｙ座標の値はだんだん増える。ところが９０°すなわちPi/2回ると[0,1]に来る。
ここからはｘ座標はマイナス側にだんだん増えてｙ座標はだんだん減る。これはちょうどＳｉｎとＣｏｓによく似てるね。そこで角度をｔ、ｘ座標をCos[t]、ｙ座標をSin[t]としてｔを０から２πまで変化させよう。

21. ﾊﾟﾗﾒｰﾀｰを用いた２次元グラフ
ParametricPlot[{x(t),y(t)} , {t,tのはじめの値,ｔの終わりの値}]
x座標と、ｙ座標をｔの関数で表し､ｔの範囲を指定してグラフを描く
別にﾊﾟﾗﾒｰﾀｰはｔでなくてもよい。座標と範囲共に｛｝でくくることに注意

ではさっそく円に挑戦しよう。

ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi},
AspectRatio->Automatic]

     -Graphics-

22. 座標のリストを点で表示する
ListPlot[{y1,y2,y3,...}]　　xが１の時y1,xが２の時y2として点を打つ
ListPlot[{x1,y1},{x2,y2},{x3,y3},...]　　[x1,y1],[x2,y2],...の各座標を点で打つ

まだ２次元グラフを描く方法はある。座標を点で打っていけばいい。そこでこのListPlotを使うには点の集合がいる。第１章でやった素数を試しに使ってみよう。１０００！は１０００の階乗(１から１０００まで全部かける)を表す。そこで１０００！までという非常に大きな素数をグラフで調べてみよう。

N[1000!]
Plist=FactorInteger[1000!]

                         2567
     4.023872600770938 10

     {{2, 994}, {3, 498}, {5, 249}, {7, 164}, {11, 98}, {13, 81}, {17, 61}, {19, 54}, {23, 44}, {29, 35}, 
       {31, 33}, {37, 27}, {41, 24}, {43, 23}, {47, 21}, {53, 18}, {59, 16}, {61, 16}, {67, 14}, {71, 14}, 
       {73, 13}, {79, 12}, {83, 12}, {89, 11}, {97, 10}, {101, 9}, {103, 9}, {107, 9}, {109, 9}, {113, 8}, 
       {127, 7}, {131, 7}, {137, 7}, {139, 7}, {149, 6}, {151, 6}, {157, 6}, {163, 6}, {167, 5}, {173, 5}, 
       {179, 5}, {181, 5}, {191, 5}, {193, 5}, {197, 5}, {199, 5}, {211, 4}, {223, 4}, {227, 4}, {229, 4}, 
       {233, 4}, {239, 4}, {241, 4}, {251, 3}, {257, 3}, {263, 3}, {269, 3}, {271, 3}, {277, 3}, {281, 3}, 
       {283, 3}, {293, 3}, {307, 3}, {311, 3}, {313, 3}, {317, 3}, {331, 3}, {337, 2}, {347, 2}, {349, 2}, 
       {353, 2}, {359, 2}, {367, 2}, {373, 2}, {379, 2}, {383, 2}, {389, 2}, {397, 2}, {401, 2}, {409, 2}, 
       {419, 2}, {421, 2}, {431, 2}, {433, 2}, {439, 2}, {443, 2}, {449, 2}, {457, 2}, {461, 2}, {463, 2}, 
       {467, 2}, {479, 2}, {487, 2}, {491, 2}, {499, 2}, {503, 1}, {509, 1}, {521, 1}, {523, 1}, {541, 1}, 
       {547, 1}, {557, 1}, {563, 1}, {569, 1}, {571, 1}, {577, 1}, {587, 1}, {593, 1}, {599, 1}, {601, 1}, 
       {607, 1}, {613, 1}, {617, 1}, {619, 1}, {631, 1}, {641, 1}, {643, 1}, {647, 1}, {653, 1}, {659, 1}, 
       {661, 1}, {673, 1}, {677, 1}, {683, 1}, {691, 1}, {701, 1}, {709, 1}, {719, 1}, {727, 1}, {733, 1}, 
       {739, 1}, {743, 1}, {751, 1}, {757, 1}, {761, 1}, {769, 1}, {773, 1}, {787, 1}, {797, 1}, {809, 1}, 
       {811, 1}, {821, 1}, {823, 1}, {827, 1}, {829, 1}, {839, 1}, {853, 1}, {857, 1}, {859, 1}, {863, 1}, 
       {877, 1}, {881, 1}, {883, 1}, {887, 1}, {907, 1}, {911, 1}, {919, 1}, {929, 1}, {937, 1}, {941, 1}, 
       {947, 1}, {953, 1}, {967, 1}, {971, 1}, {977, 1}, {983, 1}, {991, 1}, {997, 1}}

１行目の4.023872...  の後の空白の次にあるのは１０の２５６７乗をかけるという意味だ
次に膨大なリストがPlistという名前でできた。これは前にも見たように1000！に出てくる素数とそのべきが組になっている。つまりどの素数が何回かけられているかということだがこのリストを見て何か見抜いた人はいるだろうか？
ただの数字の羅列に見えるがListPlot[　]でグラフにして見よう。

ListPlot[Plist,Prolog->AbsolutePointSize[2]]

     -Graphics-

オプションとしてProlog->AbsolutePointSize[2]をつけたのは点の大きさを大きくして見やすくするためだ。この図を見ると何かに似ていると思わないか？
そう1/xのグラフに似ている！そこで1000/xのグラフを実際に書いてみよう。
ｙ座標の値をそろえるためにPlotRange->{0,19}というオプションをつける

Plot[1000/x,{x,1,1000},PlotRange->{0,19}]

     -Graphics-

そっくりになるね、なぜかは自分で考えてみよう。またListPlotはPlotJoined->Trueというｵﾌﾟｼｮﾝを付ければ点は線で結ばれる。

ListPlot[Plist,PlotJoined->True]

     -Graphics-

さあ次はお待ちかねの３次元だ。Mathematicaの本領発揮！
ではもっともすばらしい命令の１つであるPot3Dを三角関数の積にを使おう。

　1.5　３次元表示の基礎

23. ３次元グラフの作成
Plot3D[xとyの式　,　{x,xの始めの値,xの終わりの値},{y,yの始めの値,yの終わりの値}]

Plot3D[Sin[x]Cos[2 y],{x,-Pi,Pi},{y,-Pi,Pi}]

     -SurfaceGraphics-

上の図をまな板の上において包丁をもちｘ軸にそって千切りにする。またｙ軸にそって千切りにすると波が連続的に変化しているのがわかるね？何？わからないって？では先にやったDo[　]を使って連続変化を見てみよう。まず次のように入力してみて。

Do[
    Plot3D[Sin[x-2 Pi t/7] Cos[2 y-2 Pi t/7],
    {x,-Pi,Pi},{y,-Pi,Pi},PlotPoints->30],
  {t,0,7}
  ]

ちょっと時間がかかったのはPlotPoints->30というオプションをつけてグラフをより細かくして８つも作図したからだ。
さて次に今描いたグラフを動かしてみよう。それにはまず画面の右端に青く長い　]　があることを確認する。グラフがいっぱい描いたところはずいぶん長い　]　が一番外側に
あるだろうこの一番長い　]のところにマウスで矢印をそーっともっていくするとあるところでマウスカーソルの形が　|←　に変わる。そしたら左ボタンをｸﾘｯｸする。すると選択
された　]　が黒く反転する。もし間違えて１つ内側の短い（図形１個分）の　]　を反転
させてしまったら、その１つ外にマウスカーソルをもっていって長い　]　を反転させよう
ーにもっていく。「セル」・「アニメーション」を選択すると絵が動く・
これがMathematicaのアニメーション機能だ。

さらにMathematicaは３次元で描いた図形をあらゆる角度から自由に見ることも可能だ
式を見ただけでは創造のつかない次の関数でその例を示そう。

f=(x^2+y^2)Exp[1-x^2-y^2]

f=(x^2+y^2)Exp[1-x^2-y^2]
Plot3D[f,{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->30]

           2    2
      1 - x  - y    2    2
     E            (x  + y )

     -SurfaceGraphics-

火山の火口のような図形ができたねではもう一度同じように入力して最後の]の前に
カンマを下のように入れる。するとカーソルはカンマのすぐ右隣で点滅してるよね
Plot3D[f,{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->30,]
この状態で点滅しているカーソルを動かさないように注意してマウスカーソルをまた上の方にもっていく。今度は右から４番めのXYZの座標軸の絵がある四角いボタンを押そう。すると画面に新しく立方体の枠の絵のある窓が現れる。
そしたらこの立方体の適当な辺にマウスをもっていって左ボタンを押す。
そこでボタンは離してはいけない！ボタンを押したまま少しマウスを動かそう。すると枠が連動して動く。自分の好きな枠の位置が決まったらマウスのボタンを離して、マウスカーソルを右側の[Paste]にもっていってマウスの左ボタンをｸﾘｯｸ。そしたら次は[OK]ボタンをｸﾘｯｸする。すると下にあるように自動的にViewPoint->{0.006,-2.812,-1.882}のオプションが付け加わる。ただし{　}の中の３つの数字は人によってちがう。先生は下から覗く形にしたのでこの数字になっただけだ（別にＨじゃないぞ！）。
もちろんこのオプションは自分でﾀｲﾌﾟしてもいい。完成したら[Sift]+[Enter]で入力してみよう。
Ver4からはマウスを使って自由に回転することもできるようになった。この機能は後に紹介する。

Plot3D[f,{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->30,
ViewPoint->{0.006,-2.812,-1.882}]

     -SurfaceGraphics-

24. 等高線グラフの作成
ContourPlot[xとyの式　,　{x,xの始めの値,xの終わりの値},{y,yの始めの値,yの終わりの値}]

Mathematicaは社会の地図で良く見る等高線を作ることができる先の火山？の関数を等高線で表現して見よう。

ContourPlot[f,{x,-2,2},{y,-2,2}]

     -ContourGraphics-

２１.濃淡グラフの作成
DensityPlot[xとyの式　,　{x,xの始めの値,xの終わりの値},{y,yの始めの値,yの終わりの値}]

さらにMathematicaは色の濃淡で関数を表現させることもできる先の関数で試すと

DensityPlot[f,{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->30]

     -DensityGraphics-

数学には無関係だが美的なセンスとして方眼の線が邪魔だから次のオプションを追加して消す。%を使えばすぐ前の結果がもう一度使えるから

Show[%,Mesh->False]

     -DensityGraphics-

なんとなく白黒写真でとった雰囲気がでてきたね。Mathematicaは数学の勉強だけでなく、楽しい絵を書くことにも使えそうだ。

そこで少し遊んで見よう。

25. 単位立方体を配置する
Cuboid[{x,y,z}]　　　[x,y,z]と[x+1,y+1,z+1]　を頂点に持つ単位立方体を配置する

Clear[f];
f=Table[Cuboid[{t,t,t}],{t,1,10}]
Show[Graphics3D[f]]

     {Cuboid[{1, 1, 1}], Cuboid[{2, 2, 2}], Cuboid[{3, 3, 3}], 
       Cuboid[{4, 4, 4}], Cuboid[{5, 5, 5}], Cuboid[{6, 6, 6}], 
       Cuboid[{7, 7, 7}], Cuboid[{8, 8, 8}], Cuboid[{9, 9, 9}], 
       Cuboid[{10, 10, 10}]}

     -Graphics3D-

Show[　]を使って絵を描かせる時は２次元はGraphics[　]３次元はGraphics3D[　]を併せて使う。
遊問題１：　　では皆さん、この単位立方体を螺旋状に配置してみて
        ヒントは｛t,t,t｝のところにSin[　],Cos[　]をうまく使うとできる。

じつはMathematicaは絵としての円もできる。ついでに色をつけるオプションも覚えよう

26. 円（円盤）を描く
    Circle[{x,y},r]　　　頂点[x,y]と半径ｒの円を描く
    Disk[{x,y},r]　　　頂点[x,y]と半径ｒの円盤を描く

Show[Graphics[{RGBColor[1,0,0],Disk[{1,1},1]}]]

RGBColor[r,g,b]　というオプションが色をつけることをしているｒは赤、ｇは緑、ｂは青だ
それぞれ最大で１、最小で０の値をとる。この数値を変えればまさに絵の具を混ぜるような操作も可能になる。
遊問題２：上の円の色をTable[　]を使って連続的に変化させよ。

RGBColor[r,g,b]のオプションを覚えたら前にやったPlot[{Sin[x],Cos[x]},{x,-2Pi,2Pi}]色分け、線の太さも変えて出力してみよう

Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{
{Thickness[1/40],RGBColor[0,0,1]},
{Thickness[1/80],RGBColor[1,0,1]}}]

     -Graphics-

青と紫で太さの違う線がかけたね。Thickness[1/40]のオプションが線の太さを決めている。また複数のオプションを指定する時は{　}でくくることにも注意しよう。

27. パラメータを使って３次元の作図をする。
ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,tの始めの値,tの終わりの値}]
ParametricPlot3D[{x[t,u],y[t,u],z[t,u]},
{t,tの始めの値,tの終わりの値},{u,uの始めの値,uの終わりの値}]

ではまず３次元の連続した線、次に面を作図する例を示そう。

ParametricPlot3D[{t Cos[t],t Sin[t],2 t},{t,0,18Pi},
PlotPoints->100]

     -Graphics3D-

ParametricPlot3D[{Cos[t](3+Cos[u]),Sin[t](3+Cos[u])
,Sin[u]},{t,0,2Pi},{u,0,2Pi},
PlotPoints->30]

     -Graphics3D-

竜巻とドーナッツができたね。

遊問題３ 上の図を研究して球を作図してみよ。

28. よく使う関数１
Abs[x]        xの絶対値をとる
Floor[a]　        aを超えない最大の整数　
Fit[{{x1,y1},{x2,y2},...},{f1,f2,...},x]　
点[x1,y1],[x2,y2],...を通る線をf1、f2､...の組み合わせで作る

数学での実践力をつけるためによく問題集に出る関数を使う例を示そう。

例題１  ｙ= |x^2-4| のｸﾞﾗﾌを -6<x<6 の範囲で書け。

f=Abs[x^2-4]
Plot[f,{x,-6,6}]

               2
     Abs[-4 + x ]

     -Graphics-

例題２ ｶﾞｳｽ記号[ｘ]をｘを超えない整数の最大値として
      y=1/2 [x^2] ,-2<x<2 のｸﾞﾗﾌを描け

Plot[1/2 Floor[x^2],{x,-2,2}]

     -Graphics-

数学での実践力をつけるためによく問題集に出る関数を使う例を示そう。

例題３  3つの点 [-1,6], [0,1],[2,3]を通る直線の方程式を求め、そのｸﾞﾗﾌを描け

y=Fit[{{-1,6},{0,1},{2,3}},{1,x,x^2},x]
Plot[y,{x,-2,2},GridLines->Automatic]

                     2
     1. - 3. x + 2. x

     -Graphics-

ホームページの作成
　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａの強力なグラフィック機能はまだまだある。最近のＭａｔｈｅｍａｔｉｃａではＷｅｂとの連携が深まり
　ホームページとしての利用が簡単になった。たとえば「ファイル」・「特別な形式で保存」を選び「ＨＴＭＬ］の形式　選択するだけでＨＰ形式となる。またＪａｖａを利用できるようにもなってきている。

例えば先にはＤｏコマンドを使ってアニメーションを作ったが同じようにＴａｂｌｅコマンドを使って
アニメーションのデータを次のようにつくる

次にこれをホームページでよくつかうアニメーションＧＩＦにしてしまおう。
次のようにファイル名を指定してＥｘｐｏｒｔコマンドを使えばよい

ドライブＤを見てみるとanimeというgifファイルができているはずだ。これをインターネットエクスプローラ
などで見てみよう。同じようにアニメーションする。

　1.6　３次元表示の応用

結晶模型の立体表示「RealTime3D」

ここではMathematica　V.4の試行的なコマンドであるRealTime3Dを利用して結晶の立体模型をいくつか作図させる。これはMathematica,もしくは、無償で以下のサイトから提供される「MathReader」があればマウスを利用して自由にリアルタイムに回転させあらゆる角度から観測ができる。ただし現時点(2000.10)ではこのパッケージは公式なものではなくまだ開発段階であり、このパッケージをロードすることで立体グラフのいくつかのオプションは効果をもたなくなったりする。また、ハードの資産（メモリ、グラフィックス）を多く必要とする。
http://www.wolfram.co.jp/　　「ウルフラム公式日本語サイト」

まず、以下のようにパッケージをロードする。

次に以下の多面体のパッケージを読み込んで回転の様子をみてみよう。
多面体のオプションはほとんど利用できる。

図のあるセル内でマウスをドラッグすると回転することが確かめられただろうか。

では結晶模型を作るために任意の位置に球を配置させる関数を次のようにつくる。

そこでまず六方最密格子hcpを作ってみよう。基本的な４個を表現すると、c/aの比を考慮して

では面心立方格子を描いてみよう。

fcc=Show[Po[a0],Po[a1],Po[a2],Po[a3],Po[b1],Po[b2],Po[b3],Po[b4],Po[b5],Po[b6],Po[b7],Po[c1],Po[c2],Po[c3]]

次に面心格子のaを次のように(1,1,1)方向にずらすしたものを加えると何ができるだろうか。

fcc=Show[Po[a0],Po[a1],Po[a2],Po[a3],Po[b1],Po[b2],Po[b3],Po[b4],Po[b5],Po[b6],Po[b7],Po[c1],Po[c2],Po[c3],Po[d1],Po[d2],Po[d3],Po[d4]]

これはダイアモンドの結晶構造である。

　2.0　数式エディタとしてのMathematica

Mathematicaは優れた数式エディタとしてももちろん機能する.
　先にもあったように「ファイル」・「パレット」から基礎的な記号、文字を選んでマウスで選択する方法もあるが
キーボードから簡略記号を使って、またＴｅｘコマンドを使って数式を作成可能である。
次のような積分はキーボードから[Esc],int,[Esc] x dx と入力すればいいし、[Ctrl]キーとの組み合わせで
多くの表現ができる

２
分数は　　    　 [Ctrl]＋/
階乗は　　　　　　[Ctrl]＋＾
上付きマークは [Ctrl]＋６
下付きマークは [Ctrl]＋−

そのほか略号として[Esc]キーをはさんで使って
偏微分∂は　　[Esc]pd[Esc]
αは　　　　　　　[Esc]a[Esc]
βは        　[Esc]ｂ[Esc]
φは　　　　　　　[Esc]phi[Esc]
Φは           [Esc]Phi[Esc]
ℏ  は        　[Esc]hb[Esc]
θは        　[Esc]th[Esc]
∞は        　[Esc]inf[Esc]
∫は        　[Esc]int[Esc]
∮　は        　[Esc]cint[Esc]
∑ は        　[Esc]sum[Esc]
πは        　[Esc]p[Esc]

などがそのごく一部である。詳しくはヘルプで「エイリアス」を参考にするとよい。

さらにほかのアプリケ-ションで作った絵を貼り付けたり,Mathematicaのグラフなどをほかの
アプリケ-ションに貼り付けたりすることもできる.


＊参考文献
    入門用としては
        「Mathematicaで数学を」        守谷良二著    海文堂
            入門、線形代数、微積などｼﾘｰｽﾞ化されている
        
        「Mathematicaで見える高校数学」    植野義明、及川久遠、時田　節書　
                                    ブレーン出版
    少し進んだものとしては
        「Mathematica」        ウルフラム書　ｱｼﾞｿﾝ・ｳｴｽﾚｲ
            ご当人による本格的ﾏﾆｭｱﾙ
        
        「Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ数学の探求」    T.W.ｸﾞﾚｲ、Ｊｸ.ｸﾞﾘﾝ著　　ﾄｯﾊﾟﾝ
            ﾄｯﾊﾟﾝからは他にも多く出版されている。
            この本は物語調で興味深くかかれている。

        「Mathematicaで見える現代数学」    S.ワゴン著
            フラクタルから群論まで幅広く紹介されている。

    物理学との関連では
        「Matematica for Physics」    Robert L.Zimmerman
                            Fredrick I.Olness     AddisonWesley

        「Mathematica で見る数理物理入門1、2」 阿部 寛著  講談社
        
    公式サイト:    http://www.wolfram.com